Георгий Щенников родился 27 апреля 1991 года в семье четырехкратного чемпиона мира по спортивной ходьбе. Мама его также занималась легкой атлетикой. В армейскую футбольную школу Георгия привел отец – Щенников тогда учился в пятом классе. Уже в следующем году он победил на юношеском турнире в Астрахани.

Газзаев называет Щенникова одним из самых талантливых юношей в российском футболе.

В 2008 году Георгий начал выступления за основную команду ЦСКА. Его дебют состоялся в выездном кубковом матче про владимирского «Торпедо». Затем он провел весь матч против «Балтики». Третьим его матчем за основной состав снова стала кубковая игра, но на этот раз – на кубок УЕФА: Щенников вышел на замену в конце встречи против «Депортиво», которую москвичи уверенно выиграли со счетом 3:0.

18 февраля 2009 года полностью провёл матч против «Астон Виллы» в этом же турнире. 7 марта 2009 Георгий вместе с ЦСКА завоевал свой первый трофей — Суперкубок России.